Welcome to Τα Σαΐνια   Click to listen highlighted text! Welcome to Τα Σαΐνια Powered By GSpeech

pythagoras

Ορισμοί : Πολλαπλάσια - Κοινά Πολλαπλάσια - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

calcΠολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι ο αριθμός που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με οποιονδήποτε άλλον.

Π.χ. Να βρούμε πολλαπλάσια του αριθμού 8

8 * 1 = 8      8 * 2 = 16      8 * 3 = 24      8 * 4 = 32      8 * 5 = 40

Οι αριθμοί 8, 16, 24, 32 και 40 είναι μερικά από τα πολλαπλάσια του αριθμού 8.

Αφού μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άπειρους άλλους αριθμούς, κάθε αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.

 

Κοινά πολλαπλάσια δύο (ή περισσότερων αριθμών) λέγονται οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια και για τους δύο αριθμούς.

Π.χ. Πολλαπλάσια του Π4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68,  ...}

Πολλαπλάσια του Π6 = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...}

Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 12, 24, 36, 48, 60 είναι πολλαπλάσια και του 4 και του 6. Αυτοί οι αριθμοί λέγονται κοινά πολλαπλάσια του 4 και του 6.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο (ή περισσότερων αριθμών) λέγεται το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών αυτών.

Πώς βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών ;

Α΄ τρόπος 

Για να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών :

  • Βρίσκουμε τα πολλαπλάσιά τους.
  • Σημειώνουμε τα κοινά πολλαπλάσιά τους.
  • Το μικρότερο από αυτά είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών αυτών.

Π.χ. Να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 12, 16

helpΒρίσκουμε τα πολλαπλάσια του 12 : Π12 = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...}

Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του 16 : Π16 = {0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128,...}

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 48 και 96 είναι Κοινά Πολλαπλάσια. Άρα το 48 που είναι το μικρότερο από τα Κοινά Πολλαπλάσια, είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών 12 και 16 και γράφουμε : Ε.Κ.Π. (12, 16) = 48

 

Β΄ τρόπος

Για να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών :

  • Εξετάζουμε αν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς διαιρείται (ακριβώς) από τους άλλους. Αν διαιρείται, τότε αυτός είναι το Ε.Κ.Π.
  • Αν δε δαιρείται απ' όλους τότε τον, διπλασιάζουμε. Αν διαιρείται, τότε αυτός είναι το Ε.Κ.Π.
  • Αν δε διαρείται απ' όλους τότε τον τριπλασιάζουμε τετραπλασιάζουμε κ.λπ.

Π.χ. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των αριθμών 8, 12, 16

Μεγαλύτερος είναι το 16. Παρατηρούμε ότι δε διαιρείται από τους άλλους δύο. Τον διπλασιάζουμε και εξετάζουμε αν διαιρείται. Δε διαιρείται και από τους δύο και γι' αυτό τον τριπλασιάζουμε. Παρατηρούμε ότι αν τον τριπλασιάσουμε διαιρείται από τους άλλους δύο : 3 Χ 16 = 48 Το 48 διαιρείται ακριβώς και από το 8 και από το 12, άρα αυτό είναι το Ε.Κ.Π. Γράφουμε τότε Ε.Κ.Π. (8, 12, 16) = 48

Γ΄ τρόπος

Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσοτέρων αριθμών είναι να τους διαιρούμε με τον μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί έστω έναν από αυτούς. Όσοι δε διαιρούνται γράφονται από κάτω όπως και το πηλίκο αυτών που διαιρούνται. Στη συνέχεια διαιρούμε είτε με τον ίδιο αριθμό, αν διαιρεί έστω έναν από τους αριθμούς που έχουμε είτε με τον επόμενο πρώτο αριθμό. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι τα αποτελέσματα κάτω από κάθε αριθμό να είναι 1. Πολλαπλασιάζουμε τους πρώτους αριθμούς με τους οποίους κάναμε τις διαιρέσεις και το γινόμενό τους είναι το Ε.Κ.Π.

Π.χ. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(12, 15, 18)

ekp

 math symbols surrounding student

Ξεκινάμε να διαιρούμε με το 2, επειδή υπάρχουν αριθμοί, οι οποίοι διαιρούνται με αυτό. Κάτω από τον καθένα γράφουμε το πηλίκο της διαίρεσής του με το 2, ενώ κάτω από το 15 που δε διαιρείται με το 2 γράφουμε πάλι 15. Τώρα έχουμε τους αριθμούς 6, 15 και 9.

Υπάρχει αριθμός (το 6) που διαιρείται με το 2, οπότε το ξαναγράφουμε δεξιά της κάθετης και διαιρούμε το 6, ενώ κατεβάζουμε το 15 και το 9. Τώρα έχουμε τους αριθμούς 3, 15 και 9.

Το 2 δεν διαιρεί πλέον κανέναν αριθμό. Επιλέγουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό, δηλαδή το 3.

Το 3 διαιρεί το 3, το 15 και το 9. Γράφουμε από κάτω τα πηλίκα και συνεχίζουμε με το 3. Τώρα έχουμε τους αριθμούς 1, 5 και 1. Επιλέγουμε τώρα το 5. Όλα τα πηλίκα θα γίνουν 1.

Ε.Κ.Π. (12, 15, 18) = 2 * 2 * 3 * 5 = 22 * 3 * 5 = 180

Δ΄ τρόπος (προαιρετικός)

Ο τελευταίος τρόπος για να βρούμε το Ε.Κ.Π. έχει να κάνει με τα δεντροδιαγράμματα. Αναλύουμε καθέναν από τους αριθμούς, των οποίων θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. Γράφουμε το γινόμενο των πρώτων αριθμών στους οποίους αναλύεται ο πρώτος από αυτούς. Σ' αυτούς πολλαπλασιάζουμε τους πρώτους αριθμούς στους οποίους πολλαπλασιάζεται ο δεύτερος. Δε γράφουμε τους πρώτους αριθμούς που έχουμε ήδη γράψει. Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για τον επόμενο αριθμό. Κάνουμε τις πράξεις και το αποτέλεσμα είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών.

Π.χ. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(6, 15, 10)

ekp2

Αναλύουμε το 6, το 15 και το 10 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων. ΕΚΠ είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών πρώτων παραγόντων.

Γράφουμε το γινόμενο 2 * 3 που είναι οι πρώτοι παράγοντες στους οποίους αναλύεται το 6. Πάμε να γράψουμε αμέσως μετά τους πρώτους παράγοντες στους οποίους αναλύεται το 15, δηλαδή το 3 και το 5. Το 3 επειδή ήδη το έχουμε γράψει, δεν το ξαναγράφουμε και γράφουμε μόνο το 5. Πάμε να γράψουμε αμέσως μετά τους πρώτους παράγοντες στους οποίους αναλύεται το 10, δηλαδή το 2 και το 5. Και οι δύο παράγοντες έχουν ήδη γραφεί, οπότε δεν τους ξαναγράφουμε. Εδώ τελειώσαμε. Ε.Κ.Π.(6, 15, 10) = 2 * 3 * 5 =30

 

Να βρεθεί το Ε.Κ.Π.(36, 54, 60)

 

ekp3

 

Το 36 αναλύεται : 36 = 22 * 32  

Το 54 αναλύεται : 54 = 2 * 33  

Το 60 αναλύεται : 60 = 22*3*5

Κοινοί παράγοντες είναι το 2 και το 3. Θα τους πάρουμε μία φορά αλλά με τον μεγαλύτερο εκθέτη 22 και 33  . Στο γινόμενο αυτών των αριθμών θα πολλαπλασιάσω και το 5 που είναι μη κοινός παράγοντας (επειδή υπάρχει μόνο σε έναν από τους τρεις αριθμούς). Άρα Ε.Κ.Π.(36, 54, 60) = 22 * 33 * 5 = 540

 

Άμεσος Υπολογισμός του Ε.Κ.Π. τριών αριθμών (κλικ)

 

Click to listen highlighted text! Powered By GSpeech